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Derivazione dell'RTT dell'ascensore in condizioni di traffico in entrata e un singolo ingresso

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di Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi e Ahmad Hammoudeh

RTT è la base per la progettazione di sistemi di ascensori. Esistono diversi metodi (sia analitici che numerici) per calcolarlo. Man mano che le condizioni del traffico di un edificio diventano più complicate, i metodi analitici diventano intrattabili. I metodi numerici offrono un'alternativa interessante per il calcolo dell'RTT, che è il tempo impiegato dall'ascensore per completare un viaggio completo di andata e ritorno, durante il quale preleva i passeggeri dall'ingresso principale, li consegna alle loro destinazioni nell'edificio e ritorna all'ingresso principale .

L'uso del metodo MCMC è una valida alternativa alla simulazione Monte Carlo, che è stata utilizzata per trovare RTT. Questo articolo deriva le formule necessarie per costruire la matrice di probabilità di transizione per l'ascensore durante un viaggio di andata e ritorno in condizioni di traffico in entrata e un unico ingresso. Quindi fornisce un esempio numerico che illustra l'uso pratico del metodo per valutare RTT.

La valutazione dell'RTT è fondamentale per la progettazione dei sistemi di traffico degli ascensori. Può essere utilizzato per trovare il numero richiesto di ascensori in un edificio, in base ai requisiti quantitativi e qualitativi dell'utente.[1] Può essere ottenuto utilizzando metodi basati su equazioni analitiche[2 e 3] o numerici.[4] I metodi analitici sono limitati nel loro ambito di applicazione, in quanto non possono trattare i casi in cui la velocità massima non viene raggiunta in un viaggio di un piano e dove le altezze dei piani non sono uguali, sebbene sia stato svolto del lavoro in quell'area.[5] Il vantaggio dei metodi numerici è che possono essere applicati in uno qualsiasi dei casi speciali, come la velocità massima non raggiunta in un viaggio di un piano, altezze disuguali del piano, popolazione disuguale al piano e ingressi multipli. L'unico metodo numerico attualmente utilizzato nella valutazione dell'RTT è il metodo Monte Carlo.[4]

Questo articolo introduce anche una metodologia per derivare la matrice di probabilità di transizione. Viene inoltre presentata una guida passo passo all'utilizzo del metodo MCMC nella valutazione di RTT, insieme a un esempio numerico di tale valutazione. Il metodo MCMC qui introdotto è limitato al caso di un edificio a ingresso singolo. Il caso di ingressi multipli è completamente affrontato in "Valutazione del tempo di andata e ritorno dell'ascensore per ingressi multipli e condizioni del traffico in entrata utilizzando Markov Chain Monte Carlo" di Lutfi Al-Sharif e Ahmad Hammoudeh (www.inderscience.com/info/ingeneral/forthcoming. php?jcode=ijise).

La matrice delle probabilità di transizione

Per utilizzare il metodo MCMC per valutare il tempo di andata e ritorno, è prima necessario derivare la matrice di probabilità di transizione.[6] Ogni elemento nella matrice di probabilità di transizione fornisce una possibilità che l'ascensore si sposti al piano j dal piano i, dato che l'ascensore è attualmente al piano i. Questo è mostrato di seguito:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-1
(Equazione 1)

Un formato generale per la matrice è mostrato nella Tabella 1. Si può vedere che la diagonale è zero, poiché l'ascensore non può stare allo stesso piano. Poiché il traffico è in entrata, il traffico non può spostarsi ad un piano sottostante, se non per tornare al piano terra. Il triangolo superiore della matrice rappresenta le probabilità che l'ascensore si sposti a un piano superiore. La prima colonna rappresenta la probabilità di tornare al piano terra. Prendendo l'espressione generale per ogni cella ed espandendola si ottiene:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-2
(Equazione 2)

Pertanto, la probabilità di passaggio dai piani i a j è uguale alla probabilità di non fermarsi a nessun piano tra quei due, fermandosi al piano i, divisa per la probabilità di fermarsi al piano i in un viaggio di andata e ritorno. Ma vale la pena notare che l'evento "viaggio dal piano i al j in un viaggio di andata e ritorno" è un sottoinsieme dell'evento "fermarsi al piano i in un viaggio di andata e ritorno", come, per definizione, affinché un viaggio da i a j per aver luogo, l'ascensore deve prima fermarsi al piano i. Questo è mostrato in:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-3
(Equazione 3)

Ma, se un evento A è un sottoinsieme di un altro evento B, la loro intersezione è l'evento A. Quindi la probabilità nell'equazione 2 può essere semplificata come mostrato di seguito:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-4
(Equazione 4)

Sostituendo l'equazione 4 nell'equazione 2 si ottiene il seguente importante risultato:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-5
(Equazione 5)

Pertanto, i valori in ciascuna riga devono essere divisi per la probabilità di fermarsi a un piano. Il piano terra è l'unico ingresso. Quindi, per definizione, l'ascensore deve fermarsi a quel piano per far salire i passeggeri (P). Pertanto, la probabilità che l'ascensore si fermi a questo piano in un viaggio di andata e ritorno è 1:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-6
(Equazione 6)

La prima colonna della tabella 2 rappresenta la probabilità che un certo piano sia il piano di inversione più alto in un viaggio di andata e ritorno, dato che l'ascensore si è fermato a quel piano. Questo è mostrato di seguito:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-7
(Equazione 7)

Questo è uguale alla probabilità che l'i-esimo piano sia il piano di inversione più alto e una sosta all'i-esimo piano, divisa per la probabilità di fermarsi all'i-esimo piano in un viaggio di andata e ritorno. Tuttavia, vale la pena notare che l'evento "l'iesimo piano è il piano di inversione più alto" è un sottoinsieme dell'evento "fermarsi all'iesimo piano in un viaggio di andata e ritorno", poiché, affinché l'iesimo piano sia l'inversione più alta piano (per definizione), l'ascensore deve fermarsi all'iesimo piano per cominciare. Questo è mostrato di seguito:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-8
(Equazione 8)

Ma, se un evento A è un sottoinsieme di un altro evento B, la loro intersezione è l'evento A. Quindi, la probabilità nell'equazione 7 può essere semplificata come mostrato nell'equazione 9:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-9
(Equazione 9)

Sostituendo l'equazione 9 nell'equazione 7 si ottiene il risultato importante:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-10
(Equazione 10)

Pertanto, gli elementi della prima colonna possono essere ricavati dividendo la probabilità che un piano sia il piano di inversione più alto, divisa per la probabilità di fermarsi a quel piano. La matrice di probabilità di transizione modificata finale è mostrata nella Tabella 2. Per derivare la matrice di probabilità di transizione, è necessario disporre di formule per la probabilità dei seguenti eventi:

  • La probabilità di un viaggio tra due piani senza fermarsi ai piani intermedi tra
  • La probabilità che un floor sia il piano di inversione più alto
  • La probabilità di fermarsi a un piano

Queste tre formule sono derivate nella sezione successiva.

Equazioni

È stato dimostrato che la probabilità che un viaggio si svolga tra due piani i e j (senza fermarsi a nessun piano intermedio) in un viaggio di andata e ritorno è data dalla seguente espressione mostrata nell'equazione 11 di seguito:[5]

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-11
(Equazione 11)

Per il caso particolare in cui l'ascensore parte dal piano terra (cioè dall'ingresso singolo), l'equazione 11 si riduce alla seguente equazione del caso speciale:[5]

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-12
(Equazione 12)

La probabilità che l'ascensore si fermi a un piano i durante un viaggio di andata e ritorno dipende dalla popolazione di quel piano e dal numero di passeggeri che salgono sull'auto, come mostrato di seguito:[5]

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-13
(Equazione 13)

Il piano terra è l'unico ingresso. Quindi, per definizione, l'ascensore deve fermarsi a quel piano per far salire i passeggeri (P). Pertanto, la probabilità che l'ascensore si fermi a questo piano in un viaggio di andata e ritorno è 1.

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-14
(Equazione 14)

Come si può notare nella matrice di probabilità di transizione (per una disposizione ad ingresso singolo), la prima colonna rappresenta la probabilità che un certo piano sia il piano di inversione più alto, dato che su quel piano è avvenuta una sosta durante un viaggio di andata e ritorno. La formula per la probabilità che un floor sia il floor di inversione più alto è mostrata di seguito:[5]

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-15
(Equazione 15)

È inoltre necessario calcolare il tempo di percorrenza tra i piani. Questo tempo tra due piani qualsiasi i e j separati da una distanza (d), con una velocità nominale di v, l'accelerazione nominale (a) e lo strappo nominale (j) possono essere calcolati come mostrato nelle Equazioni 16-18 per le tre diverse condizioni (velocità nominale raggiunta, velocità nominale non raggiunta ma accelerazione nominale raggiunta, rispettivamente, velocità nominale non raggiunta e accelerazione nominale non raggiunta):[7]

Velocità nominale raggiunta: se:  

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-16
(Equazione 16)

Velocità nominale non raggiunta ma accelerazione nominale raggiunta: se , allora

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-17
(Equazione 17)

Né la velocità nominale né l'accelerazione nominale sono state raggiunte:

se poi

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-18
(Equazione 18)

Questo produce una matrice bidimensionale che mostra il tempo necessario per viaggiare tra i piani i e j. Una rappresentazione di tale matrice è mostrata nella Tabella 3. Come si può vedere, la diagonale è zero, poiché non è necessario tempo per spostarsi allo stesso piano. Si può anche vedere che il triangolo superiore della matrice sopra la diagonale è un'immagine speculare del triangolo inferiore sotto la diagonale.

Calcolo RTT

Di seguito è riportata una panoramica dei passaggi da eseguire per effettuare una valutazione RTT utilizzando il metodo Markov Chain Monte Carlo:

  1. Sviluppare la matrice cinematica.
  2. Sviluppa la matrice di probabilità di transizione.
  3. Estrai la funzione di densità di probabilità (PDF) per ogni piano dell'edificio dalla riga corrispondente nella matrice di probabilità di transizione.
  4. Converti ogni PDF ottenuto nel passaggio 3 in una funzione di distribuzione cumulativa (CDF).
  5. Supponendo che la posizione di partenza dell'ascensore sia l'ingresso principale (piano G, o 0), estrai un campione casuale dal CDF prodotto dalla prima riga della matrice di probabilità di transizione. Ciò fornirà la prossima destinazione dell'ascensore.
  6. Utilizzando la riga che corrisponde alla destinazione successiva, utilizzare il CDF di quella riga per generare la destinazione successiva.
  7. Ripetere il passaggio 6 finché l'ascensore non torna al piano terra. Questo forma un viaggio di andata e ritorno completo.
  8. Utilizzando la matrice cinematica sviluppata nel passaggio 1, calcolare la componente del tempo di viaggio del viaggio di andata e ritorno.
  9. In base al numero di fermate del viaggio trovate nel passaggio 7, calcola la componente del tempo di porta del viaggio di andata e ritorno.
  10. Sulla base del numero di passeggeri su cui è stata sviluppata la matrice di probabilità di transizione, calcolare la componente di transizione passeggero del viaggio di andata e ritorno.
  11. Il round trip è la somma dei tre termini nei passaggi 8, 9 e 10.
  12. Ripetere i passaggi 5-11 in un certo numero di prove (ad es. 10,000), quindi fare la media di tutte le prove, ottenendo così l'RTT.

Esempio numerico

Un edificio ha cinque piani (N) sopra l'ingresso principale (piano terra). La cabina dell'ascensore si riempie di sei passeggeri; quindi, P = 6 al piano terra. L'edificio ha uguale altezza del piano: df = 4.5 m. Il tempo di apertura della porta (tdo) è di 2 s. e il tempo di chiusura della porta (tdc) è di 3 s. Il tempo di trasferimento dei passeggeri nell'ascensore (tpi) è di 1.2 s.; per uscire dall'ascensore (tpo), sono 1.2 s. La velocità nominale (v) è 1.6 ms-1; l'accelerazione nominale (a) è 1 ms-2; il jerk nominale (j) è 1 ms-3.

Nella matrice di probabilità di transizione dell'esempio (Tabella 4), come previsto, la somma degli elementi in qualsiasi riga è 1, la diagonale è zero e il triangolo inferiore è zero (eccetto per la prima colonna). Il PDF e il CDF per ogni riga vengono generati e utilizzati per eseguire un campionamento casuale per generare un round trip completo. I numeri casuali vengono generati e utilizzati per generare il movimento dell'ascensore nell'edificio come segue:

  • Casuale() = 0.244: da 0 a 1
  • Casuale() = 0.746: da 1 a 3
  • Casuale() = 0.796: da 3 a 5
  • Da 5 a 0

Pertanto, il percorso completo diventa 0 a 1, 1 a 3, 3 a 5, quindi 5 a 0. È necessario trovare la matrice cinematica per calcolare il primo termine dell'RTT. Questo rappresenta il tempo necessario all'ascensore per viaggiare tra due piani qualsiasi, a partire dalla velocità nominale, dall'accelerazione e dallo strappo. Questi tempi possono essere calcolati usando le equazioni 16-18. Questi sono mostrati nella Tabella 5 per questo edificio e i parametri cinematici del suo ascensore.

L'RTT è composto da tre componenti. Il primo di questi è il tempo di percorrenza:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-19
(Equazione 19)

Il secondo termine è il tempo della porta. Questo può essere calcolato moltiplicando il numero di fermate durante il viaggio per il tempo di apertura e chiusura della porta. Il numero di fermate in questo caso è quattro (fermate a 0, 1, 3 e 5):

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-20
(Equazione 20)

Il terzo e ultimo termine dell'equazione RTT rappresenta l'orario di imbarco e sbarco dei passeggeri ed è indicato con τP. Questo è facile da calcolare moltiplicando il numero di passeggeri per la somma del tempo di imbarco e sbarco per passeggero:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-21
(Equazione 21)

Aggiungendo tutti e tre i termini RTT, si ottiene la prima prova dell'RTT:

Derivazione-Ascensore-RTT-in-Condizioni-di-traffico-in-entrata-e-un-singolo-ingresso-Equazione-22
(Equazione 22)

Ripetendo questa procedura 10,000 volte si ottiene un valore RTT finale di 76.3231 s. Il valore esatto utilizzando l'equazione analitica è 76.4031 s.

Conclusione

È stata delineata una chiara serie di passaggi per valutare il valore RTT utilizzando il metodo MCMC. Sono state derivate le equazioni per lo sviluppo della matrice di probabilità di transizione dei movimenti dell'ascensore durante un viaggio di andata e ritorno. È stato fornito un esempio pratico numerico che illustra l'uso del metodo per valutare l'RTT per una prova. Il metodo è particolarmente efficace nei casi in cui non esistono equazioni analitiche per le condizioni speciali dell'edificio, come quando la velocità massima non viene raggiunta in un viaggio di un piano e quando ci sono altezze disuguali del piano.

Referenze
[1] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan e Osama F. Abdel Aal, "Metodologia di progettazione ottimale automatizzata di sistemi di ascensori utilizzando regole e metodi grafici (il piano HARint)," Ricerca e tecnologia di ingegneria dei servizi di costruzione, agosto 2013; vol. 34, 3: pag. 275-293 (pubblicato per la prima volta il 12 aprile 2012).
[2] GC Barney, Elevator Traffic Handbook: Theory and Practice Spon Press, Londra e New York (2003).
[3] Il Chartered Institute of Building Services Engineers (CIBSE), CIBSE Guide D: Transportation Systems in Buildings, Fourth Edition, (2010).
[4] Lutfi Al-Sharif, Hussam Dahyat e Laith Al-Kurdi, "L'uso della simulazione Monte Carlo nel calcolo del tempo di andata e ritorno dell'ascensore in condizioni di picco", Building Services Engineering Research and Technology, volume 33, edizione 3 (2012), pag. 319-338.
[5] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan e Rasha Khaleel, "Derivation of a Universal Elevator Round Trip Time Formula under Incoming Traffic", Building Services Engineering Research and Technology 0143624413481685 (pubblicato per la prima volta il 13 giugno 2013 come doi: 10.1177/0143624413481685).
[6] Hamdy A. Taha, Ricerca operativa: un'introduzione, nona edizione (internazionale), Pearson (2011).
[7] Richard D. Peters, "Cinematica dell'ascensore ideale: derivazione di formule per le equazioni del moto di un ascensore", International Journal of Elevator Engineers, 1996.
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Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi e Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi e Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif è professore associato presso il Dipartimento di Ingegneria Meccatronica dell'Università della Giordania ad Amman, Giordania. Al-Sharif ha lavorato per la metropolitana di Londra per nove anni, dove la sua posizione finale è stata quella di responsabile delle consegne di ascensori e scale mobili. Ha 13 articoli pubblicati su riviste peer-reviewed ed è co-inventore di quattro brevetti. Ha conseguito il dottorato di ricerca in Analisi del traffico degli ascensori nel 1992 presso l'Università di Manchester nel Regno Unito

Hasan Algzawi si è laureato in Ingegneria Meccatronica presso l'Università della Giordania nel gennaio 2013. I suoi interessi di ricerca includono l'uso delle catene di Markov nella modellazione dei sistemi ingegneristici.

Ahmad Hammoudeh lavora con i sistemi di alimentazione a Dar Al Handasah dal 2012. È un ingegnere progettista elettrico, laureato in Ingegneria Elettrica all'Università della Giordania nel 2012. I suoi interessi di ricerca includono l'analisi e la simulazione del traffico degli ascensori.

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